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Nicht wenigen „rechenschwachen“ Kindern gelingen auch nach vier Jahren Volksschule zahlreiche Plus- und vor allem Minusrechnungen sogar im Zahlenraum 10 nur dadurch, dasssie in Einzelschritten vorwärts- bzw. rückwärts zählen. Die Finger werden dabei meist nur noch heimlich verwendet, öfter wird „im Kopf gezählt“, was besonders viel Konzentrationverbraucht.
Häufige Folge: vermeintliche „Konzentrationsfehler“, die tatsächlich als Ermüdungsfehler aufgrund der ungenügenden Rechentechnik zu erklären sind.
Anderen Kindern gelingt es (zwar oft deutlich verspätet und mit hohem Übungsaufwand, aber doch noch im Laufe der Volksschule), zumindest einen Großteil der Additionen (seltener auch der Subtraktionen) im Zahlenraum bis 10 oder sogar 20 auswendig zu lernen. Zählendes Rechnen stellt dann vielleicht nur noch die Ausnahme dar.
Dennoch ist zumeist zu beobachten:
Schriftliches Addieren und Subtrahieren sind in der Regel kein allzu großes Problem. Beim Rechnen Stelle für Stelle bewegen wir uns ja nur im Zahlenraum bis 20, und dort kommt man auch mit zählendem Rechnen ganz gut zurecht (und mit auswendig gemerkten Additionen und Subtraktionen/Ergänzungen sowieso).
Beim Kopfrechnen im zwei- oder gar mehrstelligen Bereich (700 – 50 und dergleichen Ungeheuerlichkeiten) sind rechenschwache Kinder dagegen zumeist heillos überfordert: Daher vermeiden sie es, wo immer möglich (schriftliche Nebenrechnungen, Taschenrechner).
Werden sie zum Kopfrechnen angehalten, dann versuchen sie angestrengt, das schriftliche Verfahren zu imitieren: Sie rechnen „Stelle für Stelle nach Vorschrift“, statt mit der Zahl als Größe umzugehen – weil sie Zahlen eben nicht als Größe zu denken gelernt haben (s.u.). Aber diese Technik ist fürs Kopfrechnen nun einmal reichlich ungeeignet, führt daher zu Überforderungen beim Merken von Ausgangszahlen und/oder Zwischenresultaten – und in weiterer Folge zur beschriebenen Vermeidungshaltung.
Gerade in diesem Bereich gibt es innerhalb der „rechenschwachen“ Kinder große Unterschiede: Manche sind gerade im Einmaleins sehr gut, weil sie hier ihre Gedächtnisleistungen voll ausspielen können.
Viele aber haben auch in der Sekundarstufe das kleine Einmaleins noch völlig unzureichend automatisiert und sind schon deshalb bei allen höheren Anwendungen (Division, schriftliches Multiplizieren und Dividieren, Bruchrechnen …) chancenlos.
„Rechenschwache“ Kinder (die meisten von ihnen) haben Zahlen vorwiegend ordinal zu denken gelernt, das heißt: Sie denken nicht so sehr ans „Wie viel?“, sondern an den Ort, den die Zahl in der Zahlenreihe einnimmt.
Zahlen sind für sie in sich abgegrenzt, sie werden nicht als Zusammensetzungen aus anderen Zahlen gedacht.
Bei „acht“ denkt das Kind nicht spontan „fünf und drei“ (oder „vier und vier“ oder …), sondern vielleicht an die die Ziffer (8) und daran, dass „acht nach sieben“ kommt. Bei „dreiundvierzig“ wird nicht an „vier Zehner und noch drei Einer“ gedacht, sondern (bestenfalls) daran, dass dreiundvierzig nach zweiundvierzig kommt.
Bei mehrstelligen Zahlen ist dieser „Ort der Zahl“ dann nicht mehr so einfach zu bestimmen: mit dem Zählen gibt’s oft schon Probleme (was kommt „vor 600?), weil die Systematik des Zahlensystems (siehe unten) nicht verstanden wurde. Mehrstellige Zahlen werden deshalb in der Regel als Ziffernfolge ohne Größenbezug gedacht: 489 ist „vier-acht-neun“ (und nicht eine Zahl, die etwas weniger als 500 ist).
„Absurde“ Ergebnisse werden mangels „Größengefühl“ nicht erkannt
Mit den oben beschriebenen Denkweisen kann man im praktischen Umgang mit Zahlen durchaus eine Zeitlang zurechtkommen (indem man zählt, sich Ergebnisse und Regeln auswendig merkt), aber so etwas wie „Größengefühl“, „Zahlensinn“ („number sense“ in der neueren Forschung) entwickelt sich nicht.
Da kann dann schon einmal bei einer Minusrechnung eine größere Zahl als die Ausgangszahl rauskommen – und dem Kind fällt nichts auf. Da können bei Textaufgaben vollkommen absurde (absurd für jemanden, der „Zahlensinn“ hat!) Zahlen rauskommen – dem Kind fällt nichts auf.
Zahlen haben eben für dieses Kind nichts mit Größe und nachvollziehbaren Größenverhältnissen zu tun, sondern mit Prozeduren (zählen, richtig unter einander schreiben, „eins weiter gehen“).
Rechenschwache Kinder haben die Systematik des Stellenwertsystems zumeist nicht verstanden. Deshalb bereitet bereits das Lesen und Schreiben großer Zahlen (vor allem mit Null-Stellen) dauerhaft Schwierigkeiten, z.B.: „vierhundertfünftausendzwölf“ wird als „4512“ oder „4005012“ geschrieben.
Wo immer im Umgang mit mehrstelligen Zahlen mehr verlangt ist als das Anwenden einer eingeübten Rechen-Mechanik, tritt völlige Orientierungslosigkeit bezüglich der Größenverhältnisse zutage.
Einige beliebige Beispiele:
• Nachbarschafts-Aufgaben gelingen nicht, z.B.: „Um 1 weniger als 60.000 ist 50.000.“
• Zahlenräume bleiben unfassbar, z.B.: „Genau in der Mitte zwischen 10.000 und 20.000 liegt 10.500.“
• (Kopf-)Rechenfehler werden selbst dann nicht bemerkt, wenn sie größenmäßig völlig daneben liegen, z.B.: „100 x 100 = 200“.
Dass z.B. „50 die Hälfte von 100“ ist, wird nicht „gesehen“ und daher in Schlussrechnungen nicht angewandt.
Auch wenn schriftliche Additionen, Subtraktionen und zum Teil auch Multiplikationen zumeist recht routiniert abgewickelt werden, gibt es oft auch dabei Probleme: Zum einen sind „rechenschwache“ Kinder dabei meist langsam, einfach deshalb, weil sie viele (alle?) Einzelrechnungen nur zählend bewältigen.
Zum anderen sind sie – aus demselben Grund – in hohem Maße fehleranfällig, woran auch noch so häufiges Üben nichts ändert – jedenfalls nicht, solange die Lösungsstrategie „Zählen“ auch beim Üben beibehalten wird.
Rechenschwache Kinder sind auch in der Sekundarstufe oft nicht in der Lage, eine Multiplikation oder gar Division mit Material darzustellen oder eine dazu passende „Rechengeschichte“ zu erfinden.
Bei „3 mal 4“ denken sie nicht an ein Vervielfachen, bei „12 : 3“ nicht an ein Teilen oder ein Enthaltensein.
Schriftliches Dividieren bleibt eine Qual
Misslungene Kopfrechen-Versuche (s.o.) zeigen das Fehlen jeglicher Einsicht in Rechengesetze, z.B.: „15 mal 7 = 75, weil 10 mal 7 = 70, + 5 = 75“, weil 7 mal 5 = 35, 7 mal 2 = 14, 35 + 14 = 49“.
Das Einschätzen als wesentliches Moment der Division durch zweistelligen Divisor erweist sich als oft unüberwindbare Hürde. Schätzfehler können nicht richtig bewertet werden. Das Dividieren artet zum hilflosen Herumprobieren aus und wird nicht selten auch zum psychischen Problem („Hassgegenstand“).
Die oben beschriebenen Defizite führen dazu, dass rechenschwache Kinder (auch bei normaler oder sogar überdurchschnittlicher Intelligenz) kaum Zugang zu sinnvollen Lösungsstrategien bei Sachrechnungen finden können.
Häufige Folge: rein willkürliches Hantieren mit den vorgefundenen Zahlen ohne inneren Zusammenhang mit dem Text, wobei offenkundig unsinnige Antworten nicht bemerkt werden (s.o.); oder aber der meist vergebliche Versuch, Schemata von Textaufgaben ohne jedes Verständnis für den Rechenweg auswendig zu lernen.
Für Größeneinheiten bilden sich keine Modell-Vorstellungen. Größenschätzungen misslingen in absurder Weise („Das Zimmer ist 200 Meter hoch.“). Auch das Erlernen der Uhr bereitet oft anhaltende Schwierigkeiten.
Das Umrechnen von Größen wird als heilloses Rate-Spiel betrieben, bei dem willkürlich Nullen gestrichen oder angehängt werden, z.B.: „500 m = 50 cm“, oder auch „500 m = 5 cm“.
Ab Einführung der Dezimalzahlen tritt das Problem verstärkt als offenkundig planloses „Kommaverschieben“ zutage.
Aufgaben, welche längere Zeit nicht geübt wurden, sind „wie weggeblasen“, müssen also vollständig neu eingepaukt werden.
Allgemein: Ein oft hoher Übungsaufwand zuhause steht in krassem Missverhältnis zu den schulischen Leistungen.
„Was muss ich da machen?“
Rechenschwache Kinder haben sich das Verstehen-Wollen in Mathematik zumeist längst abgewöhnt. Auf gut gemeinte Erklärungsversuche reagieren sie oft mit Unwillen und Ungeduld, ihr einziges Interesse gilt dem „Trick“, der weiterhelfen soll. Neue Stoffgebiete lösen daher zunächst regelmäßig Verzweiflung aus: „Das versteh’ ich sowieso nie!“
Mathematik als Hass-Objekt, Auslöser von Verzweiflung, psychischen Engpässen: Zumeist schon im Laufe der Volksschule hat sich eine Rechenschwäche oft auch zum massiven psychischen Problem entwickelt, mit Folgen weit über Mathematik hinaus: Das gesamte Selbstbild gerät in Mitleidenschaft, der „Teufelskreis Lernstörung“ schlägt auch in anderen Fächern durch, das Familienleben leidet, nicht selten kommt es zu psychosomatischen Störungen.